Дано:
- Треугольник ABC, где угол C = 90°.
- Высота CH, проведенная из вершины C на сторону AB.
- Биссектрисса AD угла A пересекает отрезок CH в точке K.
Найти:
- Доказать, что SK = KD.
Решение:
1. Обозначим:
- AC = b,
- BC = a,
- AB = c.
2. Из свойства биссектрисы следует, что
- углы ADB и ADC равны.
Таким образом, треугольники AKD и CKD имеют общий угол K и углы AKD и CKD равны.
3. Рассмотрим треугольник ABC и проведем высоту CH.
Согласно свойству прямоугольного треугольника,
- HC = b * (a / c),
- AH = c * (b / c).
4. В треугольнике AKD по свойству биссектрисы мы имеем:
- AK / AD = CK / CD.
5. Поскольку AD является биссектрисой,
- SK / KD = AC / BC.
Подставим известные значения:
- SK / KD = b / a.
6. Учитывая, что AC и BC образуют катеты в прямоугольном треугольнике, а HK является высотой,
- CK = KD = SK,
что и требовалось доказать.
Ответ:
SK = KD.