Дано:
- Треугольник ABC с прямым углом C.
- Высота CH, проведенная из вершины C на сторону AB.
- Биссектрисса CD, проведенная из вершины A в треугольнике AСН.
Найти:
- Доказать, что CB = BD.
Решение:
1. Обозначим:
- AC = b,
- BC = a,
- AB = c.
- HC = h (высота из C на AB).
2. По свойству биссектрисы в треугольнике AСН,
- угол CAD = угол DCA.
Это значит, что треугольник ACD подобен треугольнику BCD.
3. Рассмотрим отношение сторон в этих треугольниках:
- AC / BC = AD / BD.
4. Поскольку треугольники ACD и BCD подобны,
- CB / BD = AC / AD.
5. Подставим известные значения:
- CB = a,
- BD = x (введем обозначение для BD).
Тогда
a / x = b / (b - x).
6. Перемножим крест-накрест:
a * (b - x) = b * x.
7. Раскроем скобки:
ab - ax = bx.
8. Переносим все x на одну сторону:
ab = ax + bx.
ab = x(a + b).
9. Из этого уравнения выразим x:
x = ab / (a + b).
10. Теперь заменим x обратно на BD:
BD = ab / (a + b).
11. Таким образом, в треугольнике CBH, высота CH делит основание AB на отрезки, такие что:
CB = BD, так как при равенстве получаем, что отрезки равны.
Ответ:
CB = BD.