Дано:
- Треугольник ABC с прямым углом C.
- Проведена высота CH из вершины C на сторону AB.
Найти:
- Доказать, что биссектрисы углов BAC и BСН перпендикулярны.
Решение:
1. Обозначим:
- угол ACB = 90 градусов.
- угол BAC = α.
- угол BCA = 90 - α.
- угол BCH = 90 градусов (поскольку CH высота).
2. По свойству биссектрисы угла,
- биссектрисы угла BAC и угла BCH делят их пополам.
- угол BAH = 1/2 * α и угол BHC = 1/2 * (90 - α).
3. Теперь рассчитаем угол BHC:
угол BHC = 180 - (угол BAH + угол ACB)
угол BHC = 180 - (1/2 * α + 90)
угол BHC = 90 - 1/2 * α.
4. Угол BСH = 90 градусов, значит:
угол CHB = 90 - угол BHC.
угол CHB = 90 - (90 - 1/2 * α) = 1/2 * α.
5. Теперь у нас есть два угла:
- угол BAH = 1/2 * α и угол CHB = 1/2 * α.
Это значит, что углы BAC и BCH равны.
6. Таким образом, если два угла равны, это значит, что:
биссектрисы углов BAC и BСH перпендикулярны, поскольку сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, а один из углов равен 90 градусам.
Ответ:
Биссектрисы углов BAC и BСН перпендикулярны.