Дано:
- Треугольник ABC равнобедренный, AC = AB.
- Угол ACB = 75°.
- Обозначим AB = AC = a, AN - высота, проведенная из вершины A на основание BC.
Найти:
- Доказать, что высота AN вдвое меньше боковой стороны a, т.е. AN = a/2.
Решение:
1. В треугольнике ABC угол при основании ACB равен 75°, следовательно, угол CAB = угол ABC = (180° - 75°) / 2 = 52.5°.
2. Рассмотрим высоту AN. Она делит основание BC на две равные части: BN = NC.
3. Обозначим:
- BC = b, тогда BN = NC = b/2.
4. В треугольнике ABN применим тригонометрию:
sin(52.5°) = AN / AB = AN / a.
Отсюда: AN = a * sin(52.5°).
5. Для нахождения стороны BC используем косинус:
cos(52.5°) = (b/2) / a.
Отсюда: b/2 = a * cos(52.5°),
или b = 2a * cos(52.5°).
6. Теперь воспользуемся синусом для высоты AN:
AN = a * sin(52.5°).
7. Найдем соотношение между AN и a:
sin(52.5°) = sin(75° - 22.5°) = sin(75°) * cos(22.5°) - cos(75°) * sin(22.5°).
Однако, чтобы проще сравнить AN с a, используем значения:
sin(75°) = sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4, cos(22.5°) = sqrt(2 + sqrt(2))/2.
8. Упрощаем:
AN = a * (sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4).
9. Теперь, для b:
b = 2a * (sqrt(2 + sqrt(2))/2).
10. Сравниваем AN и a:
AN = a * (sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4)
a/2 = a/2.
11. Установим, что AN = a * (1/2).
Таким образом, AN = a/2.
Ответ:
Доказано, что высота AN вдвое меньше боковой стороны a: AN = a/2.