Дано:
- Прямоугольник ABCD с A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1).
- Сторона AB равна 1.
- Точка E — середина стороны BC, координаты E(1, 0.5).
- Точка F — основание перпендикуляра, проведенного из точки A к прямой DE.
Найти:
- Длину отрезка BF.
Решение:
1. Найдем уравнение прямой DE. Для этого определим координаты точек D и E.
Точка D(0, 1), E(1, 0.5).
2. Найдем наклон (угловой коэффициент) прямой DE:
k = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (0.5 - 1) / (1 - 0) = -0.5.
3. Уравнение прямой в общем виде:
y - y1 = k(x - x1),
подставим D(0, 1):
y - 1 = -0.5(x - 0),
y = -0.5x + 1.
4. Уравнение перпендикуляра, проходящего через A(0, 0), имеет угловой коэффициент, обратный по знаку:
k_perp = 2 (так как -1/k = -1/(-0.5) = 2).
5. Уравнение прямой, проходящей через A(0, 0):
y = 2x.
6. Найдем точку F — пересечение прямых DE и перпендикуляра.
Подставим y из уравнения перпендикуляра в уравнение DE:
2x = -0.5x + 1.
Решим это уравнение:
2.5x = 1,
x = 1/2.
7. Теперь найдем y:
y = 2(1/2) = 1.
Таким образом, точка F имеет координаты F(0.5, 1).
8. Теперь найдем длину отрезка BF:
Используем формулу расстояния между двумя точками B(1, 0) и F(0.5, 1):
BF = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2).
Подставим координаты:
BF = sqrt((0.5 - 1)^2 + (1 - 0)^2) = sqrt((-0.5)^2 + 1^2) = sqrt(0.25 + 1) = sqrt(1.25).
9. Упростим:
sqrt(1.25) = sqrt(5/4) = sqrt(5) / 2.
Ответ:
Длина отрезка BF равна sqrt(5) / 2.