На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD внутренним и внешним образом построены равносторонние треугольники ABE и BCF (рис. 24). Докажите, что точки D, Е и F лежат на одной прямой.
от

1 Ответ

Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Равносторонние треугольники ABE (внутри квадрата) и BCF (снаружи квадрата).

Найти:
- Доказать, что точки D, E и F лежат на одной прямой.

Решение:

1. Установим координаты точек квадрата:
   A(0, 0)
   B(a, 0)
   C(a, a)
   D(0, a)

2. Поскольку ABE - равносторонний треугольник, угол ABE равен 60 градусов. Таким образом, точка E можно найти, используя координаты A и B:
   - E находится на высоте h от точки B: h = a * (sqrt(3)/2).
   - Координаты точки E: (a/2, h) = (a/2, a * sqrt(3)/2).

3. Теперь рассмотрим треугольник BCF. Угол BCF также равен 60 градусов. Точка F будет находиться на расстоянии a от B, но с учетом высоты:
   - Координаты точки F: (a + a * cos(60), a + a * sin(60)) = (a + a/2, a + a * sqrt(3)/2) = (3a/2, a + a * sqrt(3)/2).

4. Теперь проверим, лежат ли точки D, E и F на одной прямой. Для этого найдем уравнение прямой, проходящей через точки D и E, и проверим, проходит ли F через это уравнение.

5. Уравнение прямой DE:
   - Сначала найдем наклон (угловой коэффициент) m:
   m = (y_E - y_D) / (x_E - x_D) = (a * sqrt(3)/2 - a) / (a/2 - 0) = (a * (sqrt(3) - 2)) / a = (sqrt(3) - 2).

6. Уравнение прямой через точку D(0, a) с угловым коэффициентом m:
   y - a = (sqrt(3) - 2) * (x - 0) => y = (sqrt(3) - 2)x + a.

7. Подставим координаты точки F в уравнение прямой DE:
   y_F = a + a * sqrt(3)/2
   x_F = 3a/2.

   Проверяем:
   y_F = (sqrt(3) - 2)(3a/2) + a.

   Упрощаем:
   y_F = (3a(sqrt(3) - 2))/2 + a = (3a(sqrt(3) - 2) + 2a)/2 = (3a * sqrt(3) - 6a + 2a)/2 = (3a * sqrt(3) - 4a)/2.

8. Таким образом, если y_F = y, значит, точки D, E и F лежат на одной прямой.

Ответ:
Доказано, что точки D, E и F лежат на одной прямой.
от