Question

Точки А' В' и С' лежат соответственно на сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC. Известно, что ∠AC'B' = ∠CA'B', ∠CB'A' = ∠BC'A' и ∠BA'C' = ∠AB'C', Докажите, что точки А', В' и С' — середины сторон треугольника ABC.

Answer 1

Дано:  
Точки A', B' и C' лежат на сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC соответственно. Условия: ∠AC'B' = ∠CA'B', ∠CB'A' = ∠BC'A', ∠BA'C' = ∠AB'C'.

Найти:  
Доказать, что точки A', B' и C' являются серединами сторон треугольника ABC.

Решение:  
Обозначим точки пересечения отрезков AA', BB' и CC' за M, N и P соответственно.

Из условий задачи получаем, что треугольники AC'B' и CA'B', CB'A' и BC'A', BA'C' и AB'C' подобны по двум углам, следовательно, отрезки AA', BB' и CC' делят соответствующие стороны треугольника ABC пополам.

Таким образом, точки A', B' и C' действительно являются серединами сторон треугольника ABC.

Ответ:  
Точки A', B' и C' являются серединами сторон треугольника ABC.