Дано:
В треугольнике ABC проведены медиана AM и высота ВН.
Найти:
Доказать, что MN = 1/2 * BC.
Решение:
Обозначим точку пересечения медианы AM и высоты ВН как точку О. Так как AM - медиана, то точка О является центром тяжести треугольника ABC, и отрезок MN делит медиану AM пополам.
Поскольку точка О является центром тяжести треугольника, то отношение длины отрезка MN к длине отрезка AO равно 1:2.
Также из свойств медианы треугольника известно, что отрезок AO также делит высоту ВН на две равные части. Поэтому отрезок HO равен отрезку ON.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник HBC. По теореме Пифагора имеем:
HB^2 + BC^2 = HC^2.
Так как HN = NO и HO = ON, то высоту HC можно представить как сумму HO и NO:
HC = HO + ON.
Также, так как точка О является центром тяжести, то отрезок HO равен половине отрезка AM:
HO = 1/2 * AM.
Тогда высоту HC можно представить как:
HC = 1/2 * AM + ON.
Из подобия треугольников AOM и HON следует, что:
AM / HO = ON / HN,
или
2 * AM = ON.
Таким образом, выражая HC через AM, получаем:
HC = AM + ON = AM + 2 * AM = 3 * AM.
Теперь вернемся к уравнению для прямоугольного треугольника HBC:
HB^2 + BC^2 = HC^2.
Подставляем HC = 3 * AM:
HB^2 + BC^2 = (3 * AM)^2,
HB^2 + BC^2 = 9 * AM^2.
Но с другой стороны, зная, что отрезок MN делит медиану AM пополам, имеем:
MN = 1/2 * AM.
Тогда:
MN^2 = 1/4 * AM^2.
Таким образом, сверху мы получили:
HB^2 + BC^2 = 9 * AM^2,
снизу:
MN^2 = 1/4 * AM^2.
Следовательно, из уравнений видно, что левые части равны, поэтому верно утверждение MN = 1/2 * BC.
Ответ:
МН = 1/2BC.