Дано:
В остроугольном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота ВН. ∠MCA = 2∠MAC.
Найти:
Доказать, что АН = НМ.
Решение:
Поскольку ∠MCA = 2∠MAC, рассмотрим треугольник AMC. Пусть ∠MAC = α, тогда ∠MCA = 2α.
Так как AM - медиана, то точка H - середина стороны BC. Также обозначим точку пересечения медианы AM и высоты BN как точку O.
Из условия углов в треугольнике MCA имеем:
2α + α + ∠ACM = 180°,
3α + ∠ACM = 180°,
∠ACM = 180° - 3α.
Теперь рассмотрим треугольник AOC. Из свойства треугольника, сумма углов внутри треугольника равна 180°:
∠AOC + ∠ACO + ∠OAC = 180°.
Заметим, что ∠ACO = ∠ACM (по построению), а ∠OAC = ∠BAC (как вертикально противоположные углы). Тогда:
∠AOC + ∠ACM + ∠BAC = 180°,
∠AOC + (180° - 3α) + ∠BAC = 180°,
∠AOC + ∠BAC = 3α.
Теперь рассмотрим треугольник AOB. Так как это остроугольный треугольник, то сумма углов в нем равна 180°:
∠AOB + ∠ABO + ∠BOA = 180°,
∠AOB + ∠BAC + ∠BAC = 180°,
∠AOB + 2α = 180°,
∠AOB = 180° - 2α.
Теперь обратим внимание на треугольник ANH. Он также остроугольный, поэтому:
∠ANH + ∠NAH + ∠AHN = 180°.
Далее, заметим, что ∠BAC = ∠OAC (вертикальные углы). Тогда:
∠ANH + ∠BAC + ∠HAN = 180°,
∠ANH + ∠BAC + ∠NMA = 180°,
∠ANH + ∠BAC + ∠MAN = 180°.
Получается, что треугольник ANH также удовлетворяет условию суммы углов, значит он является остроугольным. Также из уравнений видно, что ∠ANH = ∠MAN.
Таким образом, у нас получилось, что в треугольнике ANH два угла равны, значит третий угол также равен им. Таким образом, треугольники ANH и MAN равны, что означает, что АН = НМ.
Ответ:
АН = НМ.