Дано: две окружности с центрами O1 и O2 пересекаются в точках A и B.
Найти: доказать, что отрезок O1O2 перпендикулярен отрезку AB.
Решение:
1. Обозначим радиусы окружностей: радиус окружности с центром O1 равен r1 = O1A = O1B, радиус окружности с центром O2 равен r2 = O2A = O2B.
2. Проведем прямые O1A и O2A, а также O1B и O2B. Эти прямые являются радиусами окружностей и, следовательно, перпендикулярны касательной к окружности в точке касания.
3. Точки A и B являются общими точками для обеих окружностей. Поэтому отрезок AB является хордой в каждой из окружностей.
4. Из свойств окружностей следует, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хордe, делит её пополам.
5. Проведем отрезок O1O2 и обозначим точку пересечения отрезка O1O2 с хордой AB как точку M.
6. По свойству хорд имеем:
O1M ⊥ AB и O2M ⊥ AB.
7. Следовательно, отрезки O1M и O2M являются высотами в треугольнике O1MO2.
8. Поскольку отрезки O1M и O2M являются высотами из центров окружностей на одну и ту же хорду AB, то они равны, и следовательно, отрезок O1O2 перпендикулярен отрезку AB.
Таким образом, мы доказали, что O1O2 ⊥ AB.
Ответ: O1O2 перпендикулярен AB.