Дано: две окружности с общим центром O, радиусы r1 и r2 (где r1 > r2). Прямая l пересекает обе окружности.
Найти: доказать, что отрезки этой прямой, заключённые между окружностями, равны.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения прямой l с первой окружностью (радиус r1) как A и B, а с второй окружностью (радиус r2) как C и D.
2. По определению, точки A и B находятся на первой окружности, а точки C и D находятся на второй окружности. Так как окружности имеют общий центр O, то O является серединой отрезков AC и BD.
3. В треугольниках OAC и OBD у нас есть:
- OA = r1 (радиус первой окружности)
- OC = r2 (радиус второй окружности)
- O является общим для обоих треугольников.
4. Рассмотрим отрезки AC и BD. Эти отрезки являются хордой и делятся на две части в точках пересечения с окружностями.
5. По свойству хорд, если прямая пересекает окружность в двух точках, то расстояние от центра окружности до отрезка, перпендикулярно, будет одинаковым для обеих хорд, так как центр окружности O является общим.
6. Таким образом, отрезок AB (между точками A и B) равен отрезку CD (между точками C и D).
7. Следовательно, AC = BD.
Ответ: отрезки, заключённые между окружностями, равны.