Дано:
Равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC и основание BC.
Середина основания BC обозначена как M.
Окружность описана на стороне AB как на диаметре.
Найти:
Доказать, что окружность проходит через точку M.
Решение:
1. Обозначим длину основания BC как a, и его середину M. Так, BM = MC = a/2.
2. В треугольнике ABC угол A равен углу B и углу C, так как треугольник равнобедренный.
3. Рассмотрим угол BAC. Вписанный угол, образованный точками B, A и M равен половине угла A (по свойству вписанных углов).
4. По теореме о вписанном угле, угол BMC равен углу BAC, поскольку точки B, A и M лежат на окружности.
5. Поскольку AB является диаметром, угол BMA будет равен 90 градусам (по свойству угла, опирающегося на диаметр окружности).
6. Следовательно, треугольник BMA является прямоугольным, а значит, M лежит на окружности.
Ответ:
Окружность, построенная на боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре, проходит через середину основания.