Дано:
Треугольник ABC, где окружность описана на стороне AC как на диаметре. Эта окружность пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, так что отрезки AM и BN равны.
Найти:
Доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.
Решение:
1. Поскольку окружность построена на стороне AC как на диаметре, угол AMB равен 90 градусам, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.
2. Обозначим длины сторон треугольника следующим образом: AB = c, AC = b, BC = a. По условию AM = BN.
3. Рассмотрим треугольники AMB и CBN. В них угол AMB = 90 градусов, так же как угол CBN.
4. По теореме Пифагора для треугольника AMB имеем:
AM^2 + MB^2 = AB^2.
5. Для треугольника CBN по той же теореме получаем:
CN^2 + BN^2 = BC^2.
6. Так как AM = BN, обозначим это равенство как x. То есть AM = BN = x.
7. Подставляя это в уравнения, получаем:
x^2 + MB^2 = c^2
CN^2 + x^2 = a^2.
8. Из уравнения для треугольника AMB выражаем MB:
MB^2 = c^2 - x^2.
9. Из уравнения для треугольника CBN выражаем CN:
CN^2 = a^2 - x^2.
10. Теперь сравним стороны AC и AB. Поскольку окружность проходит через точки M и N, то мы можем использовать равенство отрезков, чтобы показать, что треугольник ABC симметричен относительно биссектрисы, проведенной из угла C.
11. Это означает, что:
AC = CN и AB = AM.
12. Так как AM = BN и M, N - точки, где окружность пересекает стороны треугольника, то по симметрии:
AB = AC.
Ответ:
Треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.