Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметре, высекает на двух других сторонах треугольника равные отрезки. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
от

1 Ответ

Дано:
Треугольник ABC, где окружность описана на стороне AC как на диаметре. Эта окружность пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, так что отрезки AM и BN равны.

Найти:
Доказать, что треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.

Решение:

1. Поскольку окружность построена на стороне AC как на диаметре, угол AMB равен 90 градусам, так как угол, опирающийся на диаметр, всегда прямой.

2. Обозначим длины сторон треугольника следующим образом: AB = c, AC = b, BC = a. По условию AM = BN.

3. Рассмотрим треугольники AMB и CBN. В них угол AMB = 90 градусов, так же как угол CBN.

4. По теореме Пифагора для треугольника AMB имеем:

AM^2 + MB^2 = AB^2.

5. Для треугольника CBN по той же теореме получаем:

CN^2 + BN^2 = BC^2.

6. Так как AM = BN, обозначим это равенство как x. То есть AM = BN = x.

7. Подставляя это в уравнения, получаем:

x^2 + MB^2 = c^2
CN^2 + x^2 = a^2.

8. Из уравнения для треугольника AMB выражаем MB:

MB^2 = c^2 - x^2.

9. Из уравнения для треугольника CBN выражаем CN:

CN^2 = a^2 - x^2.

10. Теперь сравним стороны AC и AB. Поскольку окружность проходит через точки M и N, то мы можем использовать равенство отрезков, чтобы показать, что треугольник ABC симметричен относительно биссектрисы, проведенной из угла C.

11. Это означает, что:

AC = CN и AB = AM.

12. Так как AM = BN и M, N - точки, где окружность пересекает стороны треугольника, то по симметрии:

AB = AC.

Ответ:
Треугольник ABC является равнобедренным, т.е. AB = AC.
от