Дано: В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1.
Найти: Доказать, что середина стороны AB равноудалена от точек A1 и B1.
Решение:
Пусть M - середина стороны AB, H1 - проекция точки A1 на сторону BC, H2 - проекция точки B1 на сторону AC.
Так как AA1 и BB1 - высоты треугольника ABC, то у них есть следующие свойства:
1. Угол A1AH1 равен 90 градусов.
2. Угол B1BH2 равен 90 градусов.
Теперь обратим внимание на треугольники AHA1 и BHB1. Они подобны треугольнику ABC по принципу угловой биссектрисы.
Из подобия треугольников следует, что отношение длин отрезков AH1 к HA и B1H2 к HB равно отношению длин отрезков A1A к AA1 и B1B к BB1 соответственно.
Теперь рассмотрим треугольник A1AB1. Поскольку MA = MB (так как M - середина стороны AB), а отрезок MH1 равноудален от точек A1 и B1 (так как HM1 является высотой), то мы можем заключить, что середина стороны AB равноудалена от точек A1 и B1.
Ответ: доказано, что середина стороны AB равноудалена от точек A1 и B1.