Дано: треугольник ABC с углом B и C, где биссектрисы угла B и внешнего угла с вершиной C пересекаются в точке I. Проведена прямая MN, параллельная стороне BC, которая пересекает прямые AB и AC в точках M и N. Нужно доказать, что MN = |BM - CN|.
Найти: доказательство равенства MN = |BM - CN|.
Решение:
1. Обозначим:
- длину BM = a,
- длину CN = b.
2. Так как MN || BC, то по свойству параллельных прямых:
углы BMC и CBN равны и углы ANC и CNA равны.
3. По свойству биссектрисы имеем:
BM / AB = CN / AC.
4. Запишем пропорцию:
a / AB = b / AC.
5. Из этой пропорции выразим a и b:
a = k * AB,
b = k * AC,
где k - коэффициент пропорциональности.
6. Так как MN || BC, можно рассмотреть отрезки:
MN = BM - CN = a - b.
7. Подставим значения a и b:
MN = k * AB - k * AC = k * (AB - AC).
8. Поскольку MN = |BM - CN|, необходимо учесть знак разности:
MN = |a - b| = |BM - CN|.
Ответ: MN = |BM - CN|.