Дано:
1. Треугольник ABC и треугольник A1B1C1.
2. AB = A1B1.
3. CD = C1D1.
4. угол ADC = угол A1D1C1.
Найти: доказать, что треугольники ABC и A1B1C1 равны.
Решение:
1. По условию, у нас есть равенство сторон: AB = A1B1 (1).
2. Углы, образованные биссектрисами, равны: угол ADC = угол A1D1C1 (2).
3. Поскольку CD и C1D1 – биссектрисы, то по свойству биссектрисы у нас есть равенство углов:
угол ACD = угол A1C1D1 и угол BCD = угол B1C1D1 (3).
4. Рассмотрим треугольники ACD и A1C1D1. У них:
- сторона AC = A1C1 (по свойству равнобедренных треугольников) и
- угол ACD = угол A1C1D1 (по (3)).
5. Теперь у нас есть две стороны и угол между ними, что позволяет применить критерий равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS).
6. Следовательно, треугольники ACD и A1C1D1 равны:
ACD ≅ A1C1D1.
7. Аналогично, рассмотрим треугольники BCD и B1C1D1. У них:
- сторона BC = B1C1 и
- угол BCD = угол B1C1D1 (по (3)).
8. Таким образом, по тому же критерию SAS треугольники BCD и B1C1D1 равны:
BCD ≅ B1C1D1.
9. Теперь, зная, что треугольники ACD ≅ A1C1D1 и BCD ≅ B1C1D1, можем заключить, что:
ABC ≅ A1B1C1.
Ответ: треугольники ABC и A1B1C1 равны.