Дано:
1. Треугольник ABC с острыми углами.
2. Окружности, построенные на сторонах AB и AC как на диаметрах.
3. Прямая, проходящая через точку A и параллельная стороне BC, пересекает окружности в точках M и N.
Найти: доказать, что MN = BC.
Решение:
1. Обозначим точки пересечения прямой, проходящей через A и параллельной BC, с окружностями как M и N.
2. По определению, так как прямая AMN параллельна BC, углы AMN и ABC равны. Также, углы ANM и ACB равны.
3. Из свойства углов, образованных секущими и касательными к окружности, мы знаем, что углы, образованные двумя касательными, равны углам, образованным двумя секущими.
4. Рассмотрим треугольники AMN и ABC. Углы AMN и ABC равны, как и углы ANM и ACB, поскольку прямые AM и BC параллельны. Следовательно, треугольники AMN и ABC подобны по двум углам.
5. Поскольку AB и AC являются диаметрами окружностей, то отрезки AM и AN равны радиусам окружностей.
6. Из подобия треугольников имеем:
MN / BC = AM / AB = AN / AC.
7. Но AM = AN, поскольку они равны радиусам. Следовательно, MN будет пропорционально BC.
8. Поскольку AM и AN равны радиусам, это также означает, что MN равно BC.
Ответ: MN = BC.