Дано:
Ребро куба равно 6. Рассмотрим куб с вершинами A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2, где ребра куба параллельны осям координат в пространстве.
1. Точки P и Q — середины отрезков A1B1 и B1C1 соответственно.
2. Точка M делит отрезок C1D1 в отношении 2:1.
Найдем расстояния между точками.
1. Расстояние между точками
а) Расстояние между точками B и D
В координатах, предположим, что точка A1 находится в начале координат (0,0,0), тогда координаты вершин куба:
- A1(0, 0, 0)
- B1(6, 0, 0)
- C1(6, 6, 0)
- D1(0, 6, 0)
- A2(0, 0, 6)
- B2(6, 0, 6)
- C2(6, 6, 6)
- D2(0, 6, 6)
Теперь найдем расстояние между точками B и D, которые находятся в плоскости z=0:
- B(6, 0, 0)
- D(0, 6, 0)
Расстояние между двумя точками в пространстве рассчитывается по формуле:
d = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)² + (z2 - z1)²)
d(B, D) = √((6 - 0)² + (0 - 6)² + (0 - 0)²) = √(6² + 6²) = √(36 + 36) = √72 = 6√2.
Ответ: расстояние между точками B и D равно 6√2.
б) Расстояние между точками M и D
Точка M делит отрезок C1D1 в отношении 2:1, то есть M находится на 2/3 пути от C1 к D1. Координаты точек C1 и D1:
- C1(6, 6, 0)
- D1(0, 6, 0)
Координаты точки M (по формуле деления отрезка):
x(M) = (2 * x(D1) + 1 * x(C1)) / (2 + 1) = (2 * 0 + 1 * 6) / 3 = 6 / 3 = 2,
y(M) = (2 * y(D1) + 1 * y(C1)) / (2 + 1) = (2 * 6 + 1 * 6) / 3 = 18 / 3 = 6,
z(M) = (2 * z(D1) + 1 * z(C1)) / (2 + 1) = (2 * 0 + 1 * 0) / 3 = 0.
Таким образом, координаты точки M: M(2, 6, 0).
Теперь находим расстояние между точками M(2, 6, 0) и D(0, 6, 0):
d(M, D) = √((2 - 0)² + (6 - 6)² + (0 - 0)²) = √(2² + 0 + 0) = √4 = 2.
Ответ: расстояние между точками M и D равно 2.
в) Расстояние между точками P и Q
Точки P и Q — середины отрезков A1B1 и B1C1.
- P — середина отрезка A1B1, координаты A1(0, 0, 0) и B1(6, 0, 0), соответственно P(3, 0, 0).
- Q — середина отрезка B1C1, координаты B1(6, 0, 0) и C1(6, 6, 0), соответственно Q(6, 3, 0).
Теперь находим расстояние между точками P(3, 0, 0) и Q(6, 3, 0):
d(P, Q) = √((6 - 3)² + (3 - 0)² + (0 - 0)²) = √(3² + 3²) = √(9 + 9) = √18 = 3√2.
Ответ: расстояние между точками P и Q равно 3√2.
г) Расстояние между точками P и B
- P(3, 0, 0) и B(6, 0, 0).
d(P, B) = √((6 - 3)² + (0 - 0)² + (0 - 0)²) = √(3²) = √9 = 3.
Ответ: расстояние между точками P и B равно 3.
2. Вершины куба, принадлежащие полупространствам
а) Полупространство с границей (BMD)
Полупространство с границей (BMD) — это одна из частей пространства, разделенная гиперплоскостью, проходящей через B, M и D. Чтобы определить, какие вершины куба лежат в одном полупространстве с этой границей, необходимо понять, что все вершины куба будут относиться к одному из полупространств относительно данной плоскости.
Если рассматривать, что точка M (2, 6, 0) лежит на плоскости, разделяющей пространство, то вершины куба, такие как A1(0, 0, 0), D1(0, 6, 0) и C1(6, 6, 0) будут находиться в одном полупространстве с данной плоскостью.
Ответ: вершины A1, D1 и C1 принадлежат одному полупространству с границей (BMD).
б) Полупространства с границей (BMD)
Вершины куба, которые принадлежат разным полупространствам, это те, которые находятся по разные стороны от плоскости, проходящей через B, M и D.
Примеры таких вершин: A2(0, 0, 6), B2(6, 0, 6), C2(6, 6, 6), D2(0, 6, 6).
Ответ: вершины A2, B2, C2, D2 принадлежат разным полупространствам с границей (BMD).