дано:
- Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна a.
найти:
Объём V пирамиды B1FMK.
решение:
1. Найдём координаты вершин куба:
- A(0, 0, 0)
- B(a, 0, 0)
- C(a, a, 0)
- D(0, a, 0)
- A1(0, 0, a)
- B1(a, 0, a)
- C1(a, a, a)
- D1(0, a, a)
2. Теперь найдём координаты точек E, F, M и K:
- E — середина AB: E = ((0 + a) / 2, 0, 0) = (a/2, 0, 0).
- F — середина BC: F = (a, (0 + a) / 2, 0) = (a, a/2, 0).
- M — середина CD: M = ((a + 0) / 2, a, 0) = (a/2, a, 0).
- K — середина AD: K = (0, (0 + a) / 2, 0) = (0, a/2, 0).
3. Точка B1 находится в координатах: B1(a, 0, a).
4. Теперь запишем координаты всех вершин пирамиды B1FMK:
- B1(a, 0, a)
- F(a, a/2, 0)
- M(a/2, a, 0)
- K(0, a/2, 0)
5. Для нахождения объёма пирамиды используем формулу:
V = (1/3) * Sосн * H,
где Sосн — площадь основания (треугольника FMK), а H — высота от точки B1 до плоскости FMK.
6. Сначала найдём площадь основания треугольника FMK. Для этого используем координаты F, M и K.
Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) * | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |,
где (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) — координаты точек F, M, K соответственно:
S = (1/2) * | a(a - 0) + (a/2)(0 - a/2) + 0(a/2 - a) |
= (1/2) * | a² - (a²/4) |
= (1/2) * | (4a² - a²) / 4 |
= (1/2) * (3a² / 4)
= (3a² / 8).
7. Высота H пирамиды равна расстоянию от точки B1 до плоскости, содержащей точки F, M и K. Плоскость проходит через O(0, 0, 0) и перпендикулярна оси z:
H = a (координата z точки B1).
8. Теперь подставим все значения в формулу для объёма:
V = (1/3) * Sосн * H
= (1/3) * (3a² / 8) * a
= (1/8) * a³.
ответ:
Объём пирамиды B1FMK равен (1/8) * a³.