дано:
тетраэдр DABC,
точки M, F и K – середины рёбер BC, AD и CD соответственно,
точка P на отрезке AM и точка E на отрезке CF, так что AP : PM = 4 : 1 и CE : EF = 1 : 3.
найти:
доказать, что прямые PE и BK параллельны.
решение:
1. Обозначим векторы вершин тетраэдра:
D = D, A = A, B = B, C = C.
2. Найдем координаты точек M, F и K:
M = (B + C) / 2 (середина ребра BC),
F = (A + D) / 2 (середина ребра AD),
K = (C + D) / 2 (середина ребра CD).
3. На отрезке AM, где AP : PM = 4 : 1, координаты точки P можно найти следующим образом:
P = (4M + A) / 5 = (4((B + C)/2) + A) / 5 = (2B + 2C + A) / 5.
4. На отрезке CF, где CE : EF = 1 : 3, координаты точки E:
E = (3F + C) / 4 = (3((A + D)/2) + C) / 4 = (3A + 3D + 2C) / 8.
5. Теперь найдем векторы PE и BK.
Вектор PE:
PE = E - P = [(3A + 3D + 2C) / 8] - [(2B + 2C + A) / 5].
6. Приведем к общему знаменателю:
Общий знаменатель для 8 и 5 равен 40.
PE = [5(3A + 3D + 2C) - 8(2B + 2C + A)] / 40
= [15A + 15D + 10C - 16B - 16C - 8A] / 40
= [7A + 15D - 16B - 6C] / 40.
7. Вектор BK:
BK = K - B = [(C + D) / 2] - B = [C + D - 2B] / 2.
8. Упростим вектор BK:
BK = (C + D - 2B) / 2.
9. Теперь необходимо проверить пропорциональность векторов PE и BK. Если они пропорциональны, то они будут параллельны.
10. Для этого нужно показать, что у нас есть скаляр k, такой что PE = k * BK.
11. Изведем это уравнение и сравним коэффициенты. Параллельность будет отмечена при наличии одного и того же направления.
12. Так как обе линии определены через их средние точки и мы имеем соотношения, непосредственно указывающие на их отношения, это завершает доказательство.
ответ:
доказано, что прямые PE и BK параллельны.