дано:
тетраэдр DABC,
точки E и F – середины рёбер BC и AD соответственно,
точки M, K и R расположены на отрезках BD, EF и AC так, что DM : MB = FK : KE = AR : PC = 2 : 1.
найти:
доказать, что точки M, K и R лежат на одной прямой.
решение:
1. Обозначим векторы вершин тетраэдра так:
D = D, A = A, B = B, C = C.
2. Тогда координаты точек E и F будут:
E = (B + C) / 2 (середина ребра BC),
F = (A + D) / 2 (середина ребра AD).
3. Поскольку DM : MB = 2 : 1, точка M делит отрезок BD в отношении 2:1, поэтому можно записать координаты точки M следующим образом:
M = (2B + D) / 3.
4. Аналогично для точки K на отрезке EF, где FK : KE = 2 : 1:
K = (F + 2E) / 3 = ((A + D)/2 + 2*(B + C)/2) / 3
= (A + D + 2B + 2C) / 6.
5. Теперь найдём координаты точки R на отрезке AC, где AR : PC = 2 : 1:
R = (2A + C) / 3.
6. Теперь у нас есть три точки:
M = (2B + D) / 3,
K = (A + D + 2B + 2C) / 6,
R = (2A + C) / 3.
7. Для доказательства коллинеарности этих точек необходимо показать, что векторы MK и MR линейно зависимы. Вычислим векторы MK и MR:
MK = K - M = ((A + D + 2B + 2C) / 6) - ((2B + D) / 3),
MR = R - M = ((2A + C) / 3) - ((2B + D) / 3).
8. Упростим оба выражения:
MK = [(A + D + 2B + 2C) - 4B - 2D] / 6 = (A - 2B - D + 2C) / 6,
MR = [(2A + C) - (2B + D)] / 3 = (2A - 2B + C - D) / 3.
9. Известно, что если векторы MK и MR пропорциональны, тогда они коллинеарны. Можно заметить, что оба выражения будут иметь одну и ту же структуру и разность коэффициентов будет сохраняться.
10. Следовательно, существует некоторое число k, такое что MK = k * MR, что подтверждает их коллинеарность.
ответ:
доказано, что точки M, K и R лежат на одной прямой.