Дано:
1. Параллелограмм ABCD, где AB = a, AD = b.
2. Точки E и F на сторонах BC и CD соответственно, такие что BE : EC = 3 : 4 и CF : FD = 1 : 3.
Найти:
Выразить вектор EF через векторы a и b.
Решение:
1. Найдем вектор BE. Поскольку BE : EC = 3 : 4, то точка E делит отрезок BC в отношении 3:4. Вектор BC можно выразить через векторы a и b:
BC = AD + AB = b + a.
2. Вектор BE будет равен:
BE = (3 / (3 + 4)) * BC = (3 / 7) * (b + a).
3. Теперь найдем вектор EC:
EC = (4 / (3 + 4)) * BC = (4 / 7) * (b + a).
4. Вектор E можно выразить как:
E = B + BE. Если B = A + a, тогда:
E = (A + a) + (3 / 7) * (b + a)
= A + a + (3 / 7)b + (3 / 7)a
= A + (10 / 7)a + (3 / 7)b.
5. Теперь найдем вектор CF. Поскольку CF : FD = 1 : 3, то точка F делит отрезок CD в отношении 1:3. Вектор CD можно выразить следующим образом:
CD = AD + AB = b + a.
6. Вектор CF будет равен:
CF = (1 / (1 + 3)) * CD = (1 / 4) * (b + a).
7. Вектор FD будет равен:
FD = (3 / (1 + 3)) * CD = (3 / 4) * (b + a).
8. Вектор F можно выразить как:
F = C + CF. Если C = B + b, тогда:
F = (B + b) + (1 / 4)(b + a)
= (A + a + b) + (1 / 4)(b + a)
= A + a + b + (1 / 4)b + (1 / 4)a
= A + (5 / 4)b + (5 / 4)a.
9. Теперь найдем вектор EF:
EF = F - E.
Подставляем выражения для F и E:
EF = [A + (5 / 4)b + (5 / 4)a] - [A + (10 / 7)a + (3 / 7)b]
= (5 / 4)b + (5 / 4)a - (10 / 7)a - (3 / 7)b.
10. Приведем к общему знаменателю:
EF = [(5/4) - (3/7)]b + [(5/4) - (10/7)]a.
Найдем общий знаменатель (28):
EF = [(35/28) - (12/28)]b + [(35/28) - (40/28)]a
= (23/28)b - (5/28)a.
Ответ:
Вектор EF = (23/28)b - (5/28)a.