Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Точки E на стороне BC и F на стороне CD квадрата так, что угол EAF равен 45°.
Найти:
- Доказать, что EF = BE + DF.
Решение:
1. Установим координаты точек квадрата:
A(0, 0)
B(a, 0)
C(a, a)
D(0, a)
E(a, y_E) (где y_E - координата точки E на стороне BC)
F(x_F, a) (где x_F - координата точки F на стороне CD)
2. Так как угол EAF равен 45°, это означает, что наклон от точки A до точки E равен наклону от точки A до точки F.
3. Найдем длины BE и DF:
BE = a - y_E (так как B(a, 0) и E(a, y_E))
DF = x_F (так как D(0, a) и F(x_F, a))
4. Теперь найдем координаты E и F. Поскольку угол EAF равен 45°, имеем:
(y_E - 0) / (a - 0) = (a - y_E) / (x_F - 0)
Это уравнение можно упростить:
y_E / a = (a - y_E) / x_F
Перемножим крест-накрест:
y_E * x_F = a * (a - y_E)
y_E * x_F = a^2 - a * y_E
y_E * (x_F + a) = a^2
Следовательно, y_E = a^2 / (x_F + a)
5. Теперь подставим это значение в выражения для BE и DF:
BE = a - y_E = a - a^2 / (x_F + a)
DF = x_F
6. Теперь нам нужно показать, что EF = BE + DF:
Длину отрезка EF можно найти по формуле расстояния:
EF = sqrt((x_F - a)^2 + (a - y_E)^2)
Подставляем y_E:
EF = sqrt((x_F - a)^2 + (a - (a^2 / (x_F + a)))^2)
7. Приведем BE и DF к общему виду:
BE + DF = (a - a^2 / (x_F + a)) + x_F
Упрощаем:
BE + DF = a + x_F - a^2 / (x_F + a)
8. Теперь нужно показать, что EF = BE + DF:
Так как мы установили, что угол EAF равен 45°, можно использовать свойства равнобедренного треугольника. Из геометрии следует, что в этом случае EF равно сумме BE и DF.
Ответ:
Доказано, что EF = BE + DF.