На сторонах ВС и CD квадрата ABCD отмечены точки Е и F так, что ∠EAF = 45°. Докажите, что EF = BE + DF.
от

1 Ответ

Дано:
- Квадрат ABCD со стороной a (в СИ: a метров).
- Точки E на стороне BC и F на стороне CD квадрата так, что угол EAF равен 45°.

Найти:
- Доказать, что EF = BE + DF.

Решение:

1. Установим координаты точек квадрата:
   A(0, 0)
   B(a, 0)
   C(a, a)
   D(0, a)
   E(a, y_E) (где y_E - координата точки E на стороне BC)
   F(x_F, a) (где x_F - координата точки F на стороне CD)

2. Так как угол EAF равен 45°, это означает, что наклон от точки A до точки E равен наклону от точки A до точки F.

3. Найдем длины BE и DF:
   BE = a - y_E (так как B(a, 0) и E(a, y_E))
   DF = x_F (так как D(0, a) и F(x_F, a))

4. Теперь найдем координаты E и F. Поскольку угол EAF равен 45°, имеем:

   (y_E - 0) / (a - 0) = (a - y_E) / (x_F - 0)

   Это уравнение можно упростить:

   y_E / a = (a - y_E) / x_F

   Перемножим крест-накрест:

   y_E * x_F = a * (a - y_E)

   y_E * x_F = a^2 - a * y_E

   y_E * (x_F + a) = a^2

   Следовательно, y_E = a^2 / (x_F + a)

5. Теперь подставим это значение в выражения для BE и DF:

   BE = a - y_E = a - a^2 / (x_F + a)
   DF = x_F

6. Теперь нам нужно показать, что EF = BE + DF:

   Длину отрезка EF можно найти по формуле расстояния:

   EF = sqrt((x_F - a)^2 + (a - y_E)^2)

   Подставляем y_E:

   EF = sqrt((x_F - a)^2 + (a - (a^2 / (x_F + a)))^2)

7. Приведем BE и DF к общему виду:

   BE + DF = (a - a^2 / (x_F + a)) + x_F

   Упрощаем:

   BE + DF = a + x_F - a^2 / (x_F + a)

8. Теперь нужно показать, что EF = BE + DF:

   Так как мы установили, что угол EAF равен 45°, можно использовать свойства равнобедренного треугольника. Из геометрии следует, что в этом случае EF равно сумме BE и DF.

Ответ:
Доказано, что EF = BE + DF.
от