Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1, ребро которого равно 4 см.
- М и К — середины рёбер AD и BB1 соответственно.
- DE = 1 см, D — середина отрезка CF.
Найти: показать, что прямая KF перпендикулярна плоскости MD1E.
Решение:
1. Определим координаты вершин куба:
A(0, 0, 0), B(4, 0, 0), C(4, 4, 0), D(0, 4, 0),
A1(0, 0, 4), B1(4, 0, 4), C1(4, 4, 4), D1(0, 4, 4).
2. Найдем координаты точек:
M — середина AD: M(0, 2, 0).
K — середина BB1: K(4, 0, 2).
E находится на CD, следовательно, E(0, 4, 1).
D — (0, 4, 0) и F — (0, 4, 2) (так как D является серединой CF).
3. Найдем векторы:
Вектор MK = K - M = (4, 0, 2) - (0, 2, 0) = (4, -2, 2).
Вектор MD1 = D1 - M = (0, 4, 4) - (0, 2, 0) = (0, 2, 4).
Вектор ME = E - M = (0, 4, 1) - (0, 2, 0) = (0, 2, 1).
4. Найдем нормальный вектор плоскости MD1E:
Сначала найдем векторы MD1 и ME:
MD1 = (0, 2, 4) и ME = (0, 2, 1).
5. Найдем векторное произведение MD1 и ME для получения нормали к плоскости:
n = MD1 x ME = |i j k|
|0 2 4|
|0 2 1|
n = (2*1 - 4*2)i - (0*1 - 0*0)j + (0*2 - 0*2)k
= (-6, 0, 0).
6. Теперь проверим перпендикулярность:
Прямая KF имеет направление (4, -2, 2).
Для этого нужно проверить скалярное произведение векторов n и MK.
n · MK = (-6, 0, 0) · (4, -2, 2) = -24 + 0 + 0 = -24.
Поскольку скалярное произведение не равно нулю, значит, прямая KF не перпендикулярна плоскости MD1E.
Ответ: прямая KF не перпендикулярна плоскости MD1E.