Дано:
- Куб ABCDA1B1C1D1 с длиной рёбер a.
- М — середина рёбер AA1, значит координаты точки М: M = (0, 0, a/2).
- К — середина рёбер AD, значит координаты точки К: K = (0, a/2, 0).
- О — центр грани CC1D1D, значит координаты точки О: O = (a, a/2, a).
Найти: нужно доказать, что прямые B1K и МО перпендикулярны.
Решение:
1. Для начала находим координаты точек B1 и M:
- Точка B1 имеет координаты B1 = (a, 0, a).
- Точка М имеет координаты M = (0, 0, a/2).
2. Найдём векторы B1K и МО:
- Вектор B1K = K - B1 = (0, a/2, 0) - (a, 0, a) = (-a, a/2, -a).
- Вектор МО = O - M = (a, a/2, a) - (0, 0, a/2) = (a, a/2, a/2).
3. Проверим перпендикулярность прямых B1K и МО, для этого вычислим скалярное произведение их направляющих векторов:
Скалярное произведение B1K и МО:
B1K · МО = (-a)(a) + (a/2)(a/2) + (-a)(a/2) = -a² + a²/4 - a²/2 = -a² + a²/4 - 2a²/4 = -a²/2.
4. Поскольку скалярное произведение не равно нулю, то прямые не перпендикулярны.
Ответ: прямые B1K и МО не перпендикулярны.