Дано:
Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Е - середина AA1 F - середина AD
Найти:
Векторы, удовлетворяющие указанным условиям.
Решение:
Векторы, сонаправленные с EF:
Вектор EF = (1/2)A1D + (1/2)A1A. Вектор EF соединяет середины ребер AA1 и AD. Любой вектор, коллинеарный EF, будет сонаправлен с ним, если имеет тот же знак. Рассмотрим векторы:
A1C: Этот вектор соединяет две противоположные вершины и параллелен EF, но его длина в два раза больше. Следовательно, вектор (1/2)A1C сонаправлен с EF.
D1B: Этот вектор также параллелен EF, его длина в два раза больше, и его направление то же. Следовательно, вектор (1/2)D1B сонаправлен с EF.
DC1: Этот вектор также параллелен EF, но противоположно направлен.
Другой вектор: любой вектор вида k*EF, где k - положительное число.
Векторы, противоположно направленные вектору AB1:
Вектор AB1 = AB + AA1. Векторы, противоположно направленные AB1, будут иметь противоположное направление и равную длину. Рассмотрим векторы:
B1A: Этот вектор имеет противоположное направление вектору AB1.
A1B: Этот вектор тоже будет противоположно направлен, если AB = AA1 (то есть параллелепипед – куб).
C1D: Тоже подходит, если AB = AA1 (куб).
Другой вектор: любой вектор вида -k*AB1, где k - положительное число.
Векторы с равными модулями вектору ВС:
Модуль вектора BC равен длине ребра BC. Векторы с равными модулями:
AD: Если AD = BC (прямоугольник, не куб)
A1B1: Если A1B1 = BC
CD: Если CD = BC
Векторы ребер: любые векторы, длина которых равна длине ребра BC (например, AA1, если AA1 = BC).
Диагонали граней: Например, AC и BD будут иметь равные модули, если это куб.
Ответ:
(1/2)A1C, (1/2)D1B, и любые векторы вида k*EF (k>0).
B1A, и любые векторы вида -k*AB1 (k>0).
AD, A1B1, CD, и любые векторы с длиной, равной длине BC. (В случае куба — AC, BD и др.).