Дано:
1. Куб ABCDA1B1C1D1 с длиной ребра куба равной a.
2. М — середина ребра B1C1.
Найти:
Сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, A1 и М.
Решение:
1. Пусть куб находится в пространстве с координатной системой, где точка A имеет координаты (0, 0, 0), точка B — (a, 0, 0), точка C — (a, a, 0), точка D — (0, a, 0), точка A1 — (0, 0, a), точка B1 — (a, 0, a), точка C1 — (a, a, a), точка D1 — (0, a, a).
2. М — середина ребра B1C1. Координаты точки М можно найти как середину отрезка B1C1. Ребро B1C1 соединяет точки B1 (a, 0, a) и C1 (a, a, a). Тогда координаты точки М равны:
М = ((a + a) / 2, (0 + a) / 2, (a + a) / 2) = (a, a/2, a).
3. Теперь определим уравнение плоскости, проходящей через точки A (0, 0, 0), A1 (0, 0, a) и М (a, a/2, a).
Для нахождения уравнения плоскости, нужно вычислить два вектора, лежащих в этой плоскости:
Вектор A1A = (0 - 0, 0 - 0, a - 0) = (0, 0, a),
Вектор AM = (a - 0, a/2 - 0, a - 0) = (a, a/2, a).
4. Теперь находим векторное произведение этих двух векторов, чтобы получить нормальный вектор плоскости:
N = A1A × AM = |i j k |
|0 0 a |
|a a/2 a |
Векторное произведение:
N = i * (0 * a - a * a/2) - j * (0 * a - a * a) + k * (0 * a/2 - 0 * a)
N = i * (-a^2 / 2) - j * (-a^2) + k * (0)
N = (-a^2 / 2) i + a^2 j.
5. Таким образом, нормальный вектор плоскости равен N = (-a^2 / 2, a^2, 0).
6. Уравнение плоскости, проходящей через точки A (0, 0, 0) и с нормальным вектором N = (-a^2 / 2, a^2, 0), будет иметь вид:
(-a^2 / 2) * x + a^2 * y = 0.
Упростим уравнение:
x - 2y = 0.
Ответ:
Уравнение плоскости, проходящей через точки A, A1 и М, имеет вид:
x - 2y = 0.