Дано:
- Сторона основания пирамиды PABCD равна 4√2 (в СИ: 4√2 м).
- Боковое ребро пирамиды равно 5 м.
- Нужно найти расстояние от вершины пирамиды P до точки О пересечения диагоналей основания.
Решение:
1. Основание пирамиды — правильный четырёхугольник ABCD. Сначала найдем координаты точек основания.
Пусть центр основания находится в начале координат, а его стороны ориентированы по осям координат. Тогда:
- A(4, 0, 0)
- B(0, 4, 0)
- C(-4, 0, 0)
- D(0, -4, 0)
2. Точка О — точка пересечения диагоналей квадрата ABCD. Поскольку основание правильное, точка О будет серединой диагоналей, то есть её координаты будут средними арифметическими координат этих вершин:
- Координаты A и C: Ox = (4 + (-4)) / 2 = 0, Oy = (0 + 0) / 2 = 0, Oz = 0 (находится в плоскости основания).
Таким образом, точка О имеет координаты (0, 0, 0).
3. Теперь найдём расстояние от точки P до точки O. Для этого рассмотрим треугольник, образованный вершиной пирамиды P и точкой О. Так как боковое ребро пирамиды перпендикулярно плоскости основания, точка P находится прямо над центром основания.
Положим, что точка P имеет координаты (0, 0, h), где h — высота пирамиды. Мы можем найти h, используя длину бокового ребра.
4. Сначала найдём высоту пирамиды, используя теорему Пифагора. Полу diagonаль квадрата основания равна половине длины диагонали квадрата. Диагональ квадрата с длиной стороны 4√2 равна:
диагональ = 4√2 * √2 = 8
Полу diagonаль = 8 / 2 = 4 м.
5. Теперь используя теорему Пифагора для треугольника с боковым ребром и половиной диагонали основания, найдём высоту пирамиды:
боковое ребро² = (половина диагонали)² + высота²
5² = 4² + h²
25 = 16 + h²
h² = 25 - 16 = 9
h = 3 м.
6. Таким образом, координаты точки P — (0, 0, 3).
7. Теперь находим расстояние от точки P(0, 0, 3) до точки O(0, 0, 0). Это просто расстояние между двумя точками в пространстве, так как их координаты совпадают по осям x и y, а различаются только по оси z.
Расстояние = √((0 - 0)² + (0 - 0)² + (3 - 0)²)
Расстояние = √(0 + 0 + 9) = √9 = 3 м.
Ответ:
Расстояние от точки P до точки O равно 3 м.