Дано:
Высота конуса H,
Угол наклона образующей конуса к основанию α = 60°,
Найти радиус шара, вписанного в конус.
Решение:
1. Радиус шара, вписанного в конус, можно найти по формуле:
r = H * tan(α) / (1 + tan(α)).
2. Подставим известное значение угла α = 60°:
r = H * tan(60°) / (1 + tan(60°)).
3. Зная, что tan(60°) = √3, получаем:
r = H * √3 / (1 + √3).
4. Для удобства можно умножить числитель и знаменатель на (1 - √3):
r = H * √3 * (1 - √3) / ((1 + √3)(1 - √3)).
5. Используя формулу (a + b)(a - b) = a² - b², получаем:
r = H * √3 * (1 - √3) / (1 - 3)
r = H * √3 * (1 - √3) / (-2).
6. Это можно упростить, получив:
r = H * (√3 - 3) / 2.
Ответ: Радиус шара, вписанного в конус, равен H * (√3 - 3) / 2.