Дано:
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна t.
- Диагональ образует угол 60° с боковой гранью, которая является квадратом.
Необходимо найти объем параллелепипеда.
Решение
Пусть длина рёбер параллелепипеда равна a, b и c. Из условия задачи боковая грань, являющаяся квадратом, имеет сторону a (где a = b), то есть боковая грань — это квадрат со стороной a.
Шаг 1. Нахождение диагонали боковой грани
Диагональ квадратной грани равна:
d_квадрата = a√2.
Шаг 2. Использование формулы диагонали параллелепипеда
Диагональ параллелепипеда можно выразить через его рёбра следующим образом:
d = √(a² + b² + c²).
Поскольку боковая грань является квадратом, то b = a, и диагональ параллелепипеда будет:
d = √(a² + a² + c²) = √(2a² + c²).
Шаг 3. Использование угла между диагональю и гранью
По условию, угол между диагональю параллелепипеда и боковой гранью равен 60°. Косинус этого угла можно выразить как отношение проекции диагонали на плоскость боковой грани к длине самой диагонали боковой грани:
cos(60°) = (d_квадрата проекция) / d.
Проекция диагонали на грань (то есть проекция на квадрат) равна длине диагонали квадратной грани, т.е. a√2. Следовательно:
cos(60°) = (a√2) / d.
Так как cos(60°) = 1/2, получаем:
1/2 = (a√2) / √(2a² + c²).
Шаг 4. Решение относительно c
Умножим обе части уравнения на √(2a² + c²):
√(2a² + c²) = 2a√2.
Теперь возведём обе части в квадрат:
2a² + c² = 8a².
Преобразуем:
c² = 6a².
Следовательно, c = √6 * a.
Шаг 5. Вычисление объема параллелепипеда
Объем параллелепипеда V вычисляется по формуле:
V = a * b * c.
Так как b = a, то:
V = a * a * c = a² * √6 * a = a³√6.
Шаг 6. Найдем связь с t
Из предыдущего шага мы знаем, что диагональ параллелепипеда d = √(2a² + c²). Подставляем значение c = √6 * a:
d = √(2a² + (√6 * a)²) = √(2a² + 6a²) = √8a² = 2√2 * a.
Теперь приравняем эту диагональ к t:
2√2 * a = t,
откуда a = t / (2√2).
Шаг 7. Подставим значение a в объем
Теперь подставим a = t / (2√2) в формулу для объема:
V = a³√6 = (t / (2√2))³ * √6.
Вычислим это выражение:
V = (t³ / (8 * 2√2)) * √6 = t³ * √6 / 16√2 = t³ * √3 / 16.
Ответ:
Объем параллелепипеда равен (√3 / 16) * t³.