Дано:
l - боковое ребро пирамиды (равно для всех)
α - угол наклона бокового ребра к плоскости основания, tg α = 8/13
a = 13, b = 14, c = 15 - стороны основания пирамиды
Найти:
V - объем пирамиды
Решение:
Найдем площадь основания пирамиды:
По формуле Герона: p = (a + b + c) / 2 = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
S = √(p(p - a)(p - b)(p - c)) = √(21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)) = √(21 * 8 * 7 * 6) = 84
Найдем высоту пирамиды (h):
Рассмотрим боковое ребро пирамиды и проекцию этого ребра на плоскость основания (это будет отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания).
Треугольник, образованный боковым ребром, проекцией и высотой пирамиды - прямоугольный.
tg α = h / (проекция бокового ребра) = 8/13
Так как боковое ребро равно l, то проекция бокового ребра = l * cos α.
Следовательно, h = (8/13) * l * cos α
Используя основное тригонометрическое тождество: cos^2 α = 1 / (1 + tg^2 α) = 1 / (1 + (8/13)^2) = 169 / 233
cos α = √(169 / 233) = 13 / √233
h = (8/13) * l * (13 / √233) = 8l / √233
Найдем объем пирамиды:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * 84 * (8l / √233) = 224l / √233
Ответ:
V = 224l / √233