дано:
- точки в пространстве:
B (2; 3; 1),
C (4; 3; -1),
A (0; 0; m).
найти:
- при каких значениях m треугольник ABC прямоугольный с прямым углом в C.
решение:
1. Для того чтобы треугольник ABC был прямоугольным с прямым углом в C, должно выполняться следующее условие:
|AC|² + |BC|² = |AB|².
2. Найдем расстояния |AC|, |BC| и |AB|.
- Расстояние |AC|:
|AC| = √((0 - 4)² + (0 - 3)² + (m - (-1))²) = √((-4)² + (-3)² + (m + 1)²) = √(16 + 9 + (m + 1)²) = √(25 + (m + 1)²).
- Расстояние |BC|:
|BC| = √((2 - 4)² + (3 - 3)² + (1 - (-1))²) = √((-2)² + (0)² + (2)²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.
- Расстояние |AB|:
|AB| = √((0 - 2)² + (0 - 3)² + (m - 1)²) = √((-2)² + (-3)² + (m - 1)²) = √(4 + 9 + (m - 1)²) = √(13 + (m - 1)²).
3. Теперь запишем уравнение для условия прямоугольного треугольника:
|AC|² + |BC|² = |AB|².
Подставим расстояния:
(25 + (m + 1)²) + (2√2)² = (13 + (m - 1)²).
Упрощаем:
(25 + (m + 1)²) + 8 = 13 + (m - 1)².
4. Приведем подобные:
33 + (m + 1)² = 13 + (m - 1)².
5. Раскроем скобки:
33 + (m² + 2m + 1) = 13 + (m² - 2m + 1).
Упрощаем:
33 + m² + 2m + 1 = 13 + m² - 2m + 1.
Упростим:
34 + 2m = 14 - 2m.
6. Соберем все m в одной части:
2m + 2m = 14 - 34,
4m = -20,
m = -5.
ответ:
- треугольник ABC будет прямоугольным с прямым углом в C при m = -5.