дано:
- куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
- координаты вершин:
- A (0; 0; 0)
- B (2; 0; 0)
- C (2; 2; 0)
- D (0; 2; 0)
- A1 (0; 0; 2)
- B1 (2; 0; 2)
- C1 (2; 2; 2)
- D1 (0; 2; 2)
найти:
- скалярные произведения векторов AB * AC, CD • D1D, AB1 • DC1, B1A • B1C, AC1 • AC.
решение:
1. Найдем векторы:
a) Вектор AB:
AB = B - A = (2 - 0; 0 - 0; 0 - 0) = (2; 0; 0).
b) Вектор AC:
AC = C - A = (2 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (2; 2; 0).
c) Вектор CD:
CD = D - C = (0 - 2; 2 - 2; 0 - 0) = (-2; 0; 0).
d) Вектор D1D:
D1D = D - D1 = (0 - 0; 2 - 2; 0 - 2) = (0; 0; -2).
e) Вектор AB1:
AB1 = B1 - A = (2 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (2; 0; 2).
f) Вектор DC1:
DC1 = C1 - D = (2 - 0; 2 - 2; 2 - 0) = (2; 0; 2).
g) Вектор B1A:
B1A = A - B1 = (0 - 2; 0 - 0; 0 - 2) = (-2; 0; -2).
h) Вектор B1C:
B1C = C - B1 = (2 - 2; 2 - 0; 0 - 2) = (0; 2; -2).
i) Вектор AC1:
AC1 = C1 - A = (2 - 0; 2 - 0; 2 - 0) = (2; 2; 2).
j) Вектор AC:
AC = (2; 2; 0) (из предыдущего расчета).
2. Вычислим скалярные произведения:
a) AB * AC:
AB • AC = (2; 0; 0) • (2; 2; 0) = 2*2 + 0*2 + 0*0 = 4.
b) CD • D1D:
CD • D1D = (-2; 0; 0) • (0; 0; -2) = -2*0 + 0*0 + 0*(-2) = 0.
c) AB1 • DC1:
AB1 • DC1 = (2; 0; 2) • (2; 0; 2) = 2*2 + 0*0 + 2*2 = 4 + 0 + 4 = 8.
d) B1A • B1C:
B1A • B1C = (-2; 0; -2) • (0; 2; -2) = -2*0 + 0*2 + (-2)*(-2) = 0 + 0 + 4 = 4.
e) AC1 • AC:
AC1 • AC = (2; 2; 2) • (2; 2; 0) = 2*2 + 2*2 + 2*0 = 4 + 4 + 0 = 8.
ответ:
- AB • AC = 4;
- CD • D1D = 0;
- AB1 • DC1 = 8;
- B1A • B1C = 4;
- AC1 • AC = 8.