дано:
- куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
- координаты вершин:
- A (0; 0; 0)
- B (2; 0; 0)
- C (2; 2; 0)
- D (0; 2; 0)
- A1 (0; 0; 2)
- B1 (2; 0; 2)
- C1 (2; 2; 2)
- D1 (0; 2; 2)
найти:
- скалярные произведения векторов CD • CA, AA1 • BA, A1B • CD1, AB1 • AC, DB1 • DB.
решение:
1. Найдем векторы:
a) Вектор CD:
CD = D - C = (0 - 2; 2 - 2; 0 - 0) = (-2; 0; 0).
b) Вектор CA:
CA = A - C = (0 - 2; 0 - 2; 0 - 0) = (-2; -2; 0).
c) Вектор AA1:
AA1 = A1 - A = (0 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (0; 0; 2).
d) Вектор BA:
BA = A - B = (0 - 2; 0 - 0; 0 - 0) = (-2; 0; 0).
e) Вектор A1B:
A1B = B - A1 = (2 - 0; 0 - 0; 0 - 2) = (2; 0; -2).
f) Вектор CD1:
CD1 = D1 - C = (0 - 2; 2 - 2; 2 - 0) = (-2; 0; 2).
g) Вектор AB1:
AB1 = B1 - A = (2 - 0; 0 - 0; 2 - 0) = (2; 0; 2).
h) Вектор AC:
AC = C - A = (2 - 0; 2 - 0; 0 - 0) = (2; 2; 0).
i) Вектор DB1:
DB1 = B1 - D = (2 - 0; 0 - 2; 2 - 0) = (2; -2; 2).
j) Вектор DB:
DB = B - D = (2 - 0; 0 - 2; 0 - 0) = (2; -2; 0).
2. Вычислим скалярные произведения:
a) CD • CA:
CD • CA = (-2; 0; 0) • (-2; -2; 0) = (-2)*(-2) + 0*(-2) + 0*0 = 4 + 0 + 0 = 4.
b) AA1 • BA:
AA1 • BA = (0; 0; 2) • (-2; 0; 0) = 0*(-2) + 0*0 + 2*0 = 0 + 0 + 0 = 0.
c) A1B • CD1:
A1B • CD1 = (2; 0; -2) • (-2; 0; 2) = 2*(-2) + 0*0 + (-2)*2 = -4 + 0 - 4 = -8.
d) AB1 • AC:
AB1 • AC = (2; 0; 2) • (2; 2; 0) = 2*2 + 0*2 + 2*0 = 4 + 0 + 0 = 4.
e) DB1 • DB:
DB1 • DB = (2; -2; 2) • (2; -2; 0) = 2*2 + (-2)*(-2) + 2*0 = 4 + 4 + 0 = 8.
ответ:
- CD • CA = 4;
- AA1 • BA = 0;
- A1B • CD1 = -8;
- AB1 • AC = 4;
- DB1 • DB = 8.