дано:
- точка C (-2; 3; 0).
- точка D (1; 2; -4).
- точка M (1; -1; 1).
- точка O (0; 0; 0).
- точка P (2; 3; 1).
найти:
- уравнение плоскости 5, перпендикулярной прямой CD и проходящей через точку M.
- лежат ли на плоскости 5 точки O и P.
решение:
1. Найдем вектор CD:
CD = D - C = (1 - (-2); 2 - 3; -4 - 0) = (3; -1; -4).
2. Уравнение плоскости можно записать в виде:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0,
где (A, B, C) — компоненты нормального вектора к плоскости, а (x0, y0, z0) — координаты точки M.
3. Нормальный вектор к плоскости будет равен вектору CD:
Нормальный вектор N = (3; -1; -4).
4. Подставим координаты точки M (1; -1; 1):
3(x - 1) - 1(y + 1) - 4(z - 1) = 0.
5. Раскроем скобки:
3x - 3 - y - 1 - 4z + 4 = 0.
6. Упростим уравнение:
3x - y - 4z = 0.
7. Уравнение плоскости:
3x - y - 4z = 0.
Теперь проверим, лежат ли точки O и P на этой плоскости.
8. Подставим координаты точки O (0; 0; 0) в уравнение плоскости:
3(0) - 0 - 4(0) = 0.
Уравнение выполняется (0 = 0), значит точка O лежит на плоскости.
9. Подставим координаты точки P (2; 3; 1) в уравнение плоскости:
3(2) - 3 - 4(1) = 6 - 3 - 4 = -1.
Уравнение не выполняется (-1 ≠ 0), значит точка P не лежит на плоскости.
ответ:
- Уравнение плоскости: 3x - y - 4z = 0.
- Точка O лежит на плоскости, точка P не лежит на плоскости.