дано:
- стороны треугольника: a = 4 см, b = 10 см.
- угол между сторонами: α = 60°.
найти:
- длину высоты h, проведенной к средней по длине стороне (c).
- длину биссектрисы d, проведенной к средней по длине стороне (c).
решение:
1. Сначала найдем длину стороны c, используя закон косинусов:
c² = a² + b² - 2ab * cos(α).
2. Подставим известные значения:
c² = 4² + 10² - 2 * 4 * 10 * cos(60°).
3. Вычислим cos(60°):
cos(60°) = 1/2.
4. Подставим значение cos(60°) в уравнение:
c² = 16 + 100 - 2 * 4 * 10 * (1/2).
c² = 16 + 100 - 40 = 76.
5. Найдем длину стороны c:
c = √76 = 2√19 см.
Теперь найдем высоту h, проведенную к стороне c.
6. Для нахождения высоты используем формулу:
h = (a * b * sin(α)) / c.
7. Вычислим sin(60°):
sin(60°) = √3 / 2.
8. Подставим значения в формулу для высоты:
h = (4 * 10 * (√3 / 2)) / (2√19).
h = (40√3 / 2) / (2√19) = (20√3) / (2√19) = 10√3 / √19.
Теперь найдем длину биссектрисы d, проведенной к стороне c.
9. Длина биссектрисы вычисляется по формуле:
d = (2ab) / (a + b) * cos(α / 2).
10. Найдем cos(α / 2):
α / 2 = 60° / 2 = 30° → cos(30°) = √3 / 2.
11. Подставим значения в формулу для биссектрисы:
d = (2 * 4 * 10) / (4 + 10) * (√3 / 2).
d = (80 / 14) * (√3 / 2) = (40/7) * (√3 / 2) = 20√3 / 7.
ответ:
- Длина высоты, проведенной к средней по длине стороне, равна 10√3 / √19 см.
- Длина биссектрисы, проведенной к средней по длине стороне, равна 20√3 / 7 см.