дано:
- сторона a = 6 см.
- углы: ∠B = 23°, ∠C = 37°.
найти:
- площадь круга, описанного вокруг треугольника (S).
решение:
1. Найдем угол A:
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 23° - 37° = 120°.
2. Теперь найдем длины сторон b и c, используя закон синусов:
b / sin(B) = a / sin(A) = c / sin(C).
3. Выразим b и c:
b = a * (sin(B) / sin(A)) и c = a * (sin(C) / sin(A)).
4. Найдем sin углов:
sin(A) = sin(120°) = √3 / 2,
sin(B) = sin(23°) ≈ 0.3907,
sin(C) = sin(37°) ≈ 0.6018.
5. Подставим значения:
b = 6 * (0.3907 / (√3 / 2)) = (6 * 0.3907 * 2) / √3 ≈ 4.78 см,
c = 6 * (0.6018 / (√3 / 2)) = (6 * 0.6018 * 2) / √3 ≈ 7.00 см.
6. Теперь найдем радиус R описанной окружности по формуле:
R = (abc) / (4S), где S — площадь треугольника.
7. Найдем площадь S по формуле:
S = (1/2) * a * b * sin(C).
8. Подставим значения:
S = (1/2) * 6 * 4.78 * 0.6018 ≈ 8.63 см².
9. Теперь найдем R:
R = (6 * 4.78 * 7.00) / (4 * 8.63).
10. Подсчитаем:
R = (200.76) / (34.52) ≈ 5.81 см.
11. Найдем площадь круга:
S = πR² ≈ 3.14 * (5.81)² ≈ 3.14 * 33.72 ≈ 105.76 см².
ответ:
- Площадь круга, описанного вокруг треугольника, равна S ≈ 105.76 см².