дано:
- периметр ромба P = 40 см.
- сумма диагоналей D1 + D2 = 28 см.
найти:
- площадь ромба S.
решение:
1. Найдем сторону ромба. Поскольку периметр ромба равен 4 * a, где a — длина стороны, то:
a = P / 4 = 40 / 4 = 10 см.
2. Обозначим диагонали ромба как D1 и D2. Из условия известно:
D1 + D2 = 28 см.
3. Площадь ромба можно выразить через его диагонали:
S = (D1 * D2) / 2.
4. Для нахождения диагоналей воспользуемся свойством ромба. Каждая диагональ делит ромб на четыре равных треугольника и пересекаются под прямым углом.
5. По теореме Пифагора можно записать:
a² = (D1/2)² + (D2/2)².
6. Подставим значение a:
10² = (D1/2)² + (D2/2)².
7. Упрощая, получаем:
100 = (D1² + D2²) / 4,
400 = D1² + D2².
8. Теперь у нас есть система уравнений:
1) D1 + D2 = 28,
2) D1² + D2² = 400.
9. Из первого уравнения выразим D2:
D2 = 28 - D1.
10. Подставим D2 во второе уравнение:
D1² + (28 - D1)² = 400.
11. Раскроем скобки:
D1² + (784 - 56D1 + D1²) = 400,
2D1² - 56D1 + 784 - 400 = 0,
2D1² - 56D1 + 384 = 0.
12. Разделим уравнение на 2:
D1² - 28D1 + 192 = 0.
13. Найдем дискриминант:
D = (-28)² - 4 * 1 * 192 = 784 - 768 = 16.
14. Найдем корни уравнения:
D1 = (28 ± √16) / 2 = (28 ± 4) / 2.
15. Корни:
D1 = 16 см, D2 = 12 см (или наоборот).
16. Теперь найдем площадь ромба:
S = (D1 * D2) / 2 = (16 * 12) / 2 = 192 / 2 = 96 см².
ответ:
- Площадь ромба равна S = 96 см².