Дано:
- Прямоугольный треугольник.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна 13 см.
- Тангенс одного из углов равен 5/12.
Найти площадь треугольника.
Решение:
1. Пусть треугольник ABC прямоугольный, где угол C = 90°.
Обозначим катеты через a и b, а гипотенузу через c. Медиана, проведенная к гипотенузе, делит гипотенузу пополам, то есть длина медианы будет равна половине гипотенузы: m = c/2.
2. Из условия задачи нам известно, что длина медианы m = 13 см, следовательно, гипотенуза c = 2 * 13 = 26 см.
3. Также известно, что тангенс одного из углов (пусть это угол A) равен 5/12. Это означает, что:
tan A = 5/12.
Поскольку tan A = противолежащий катет / прилежащий катет, то для угла A имеем:
a / b = 5/12.
Таким образом, a = 5b / 12.
4. Теперь применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника:
a² + b² = c².
Подставляем c = 26:
a² + b² = 26² = 676.
5. Подставляем выражение для a:
(5b / 12)² + b² = 676.
25b² / 144 + b² = 676.
Приводим к общему знаменателю:
(25b² + 144b²) / 144 = 676.
169b² / 144 = 676.
Умножаем обе стороны на 144:
169b² = 676 * 144 = 97424.
Делим обе стороны на 169:
b² = 97424 / 169 = 577.
b = √577 ≈ 24.0 см.
6. Теперь находим a, подставив значение b:
a = 5b / 12 = 5 * 24 / 12 = 10 см.
7. Площадь треугольника можно найти по формуле:
S = (1/2) * a * b.
S = (1/2) * 10 * 24 = 120 см².
Ответ: площадь треугольника равна 120 см².