дано:
- периметр прямоугольного треугольника P = 60 см.
- сумма квадратов длин всех сторон a² + b² + c² = 1250 см², где c — гипотенуза.
найти:
- длину высоты h, проведенной к гипотенузе.
решение:
1. Обозначим стороны треугольника как a, b (катеты) и c (гипотенуза). Из условия периметра:
a + b + c = 60.
2. Из условия суммы квадратов:
a² + b² + c² = 1250.
3. Из теоремы Пифагора известно, что:
c² = a² + b².
4. Подставим c² в уравнение для суммы квадратов:
a² + b² + (a² + b²) = 1250,
2(a² + b²) = 1250,
a² + b² = 625.
5. Теперь у нас есть два уравнения:
- a + b + c = 60,
- a² + b² = 625.
6. Выразим c из первого уравнения:
c = 60 - a - b.
7. Подставим это значение в уравнение для гипотенузы:
c² = (60 - a - b)².
8. Раскроем скобки:
(60 - a - b)² = 3600 - 120a - 120b + a² + b².
9. Подставим a² + b² = 625:
(60 - a - b)² = 3600 - 120a - 120b + 625.
10. Упростим:
3600 - 120a - 120b + 625 = 4225 - 120a - 120b.
11. Теперь подставим это уравнение в исходное для c²:
c² = 4225 - 120a - 120b.
12. Теперь найдем высоту h, проведенную к гипотенузе:
h = (a * b) / c.
13. Подсчитаем c:
c = √(a² + b²) = √625 = 25 см.
14. Теперь найдем a и b:
a + b = 60 - c = 60 - 25 = 35 см.
15. У нас есть система уравнений:
a + b = 35,
a² + b² = 625.
16. Используем выражение для b из первого уравнения:
b = 35 - a.
17. Подставим во второе уравнение:
a² + (35 - a)² = 625.
18. Раскроем скобки:
a² + (1225 - 70a + a²) = 625,
2a² - 70a + 1225 - 625 = 0,
2a² - 70a + 600 = 0.
19. Упростим:
a² - 35a + 300 = 0.
20. Решим данное квадратное уравнение по формуле:
D = b² - 4ac = (-35)² - 4 * 1 * 300 = 1225 - 1200 = 25.
21. Найдем a:
a = (35 ± √25) / 2 = (35 ± 5) / 2,
a₁ = 20 см, a₂ = 15 см.
22. Теперь подставим a и b в формулу для нахождения h:
h = (a * b) / c = (20 * 15) / 25 = 12 см.
ответ:
- Длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна h = 12 см.