дано:
- длины медиан, проведенных к катетам:
m_a = √244,
m_b = √601.
найти:
- длину гипотенузы c.
решение:
1. Обозначим катеты прямоугольного треугольника как a и b.
2. Формула для длины медианы, проведенной к стороне a, имеет вид:
m_a = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²).
3. Формула для медианы, проведенной к стороне b:
m_b = (1/2) * √(2a² + 2c² - b²).
4. Подставим значения медиан:
√244 = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²),
√601 = (1/2) * √(2a² + 2c² - b²).
5. Умножим обе части уравнений на 2:
2√244 = √(2b² + 2c² - a²),
2√601 = √(2a² + 2c² - b²).
6. Возведем в квадрат обе стороны:
4 * 244 = 2b² + 2c² - a²,
4 * 601 = 2a² + 2c² - b².
7. Упростим:
976 = 2b² + 2c² - a²,
2404 = 2a² + 2c² - b².
8. Запишем систему уравнений:
976 + a² = 2b² + 2c²,
2404 + b² = 2a² + 2c².
9. Из первых двух уравнений выразим 2c²:
2c² = 976 + a² - 2b²,
2c² = 2404 + b² - 2a².
10. Приравняем:
976 + a² - 2b² = 2404 + b² - 2a².
11. Упростим:
a² + 2a² - 2b² - b² = 2404 - 976,
3a² - 3b² = 1428,
a² - b² = 476.
12. Теперь выразим a² через b²:
a² = b² + 476.
13. Подставим значение a² в одно из уравнений для 2c²:
2c² = 976 + (b² + 476) - 2b²,
2c² = 1452 - b².
14. Теперь найдем c²:
2c² + b² = 1452.
15. Подставим значение для b² (выразим b² через c):
b² = 1452 - 2c².
16. Теперь подставим в уравнение для a²:
a² = (1452 - 2c²) + 476,
a² = 1928 - 2c².
17. Теперь применим теорему Пифагора:
c² = a² + b².
18. Подставим найденные значения:
c² = (1928 - 2c²) + (1452 - 2c²).
19. Упростим:
c² + 4c² = 1928 + 1452,
5c² = 3380,
c² = 676.
20. Теперь найдем c:
c = √676 = 26 см.
ответ:
- Длина гипотенузы равна c = 26 см.