дано:
- длина медианы, проведенной к гипотенузе m_c = 10 см.
- длина медианы, проведенной к одному из катетов m_a = 4√13 см.
найти:
- длину третьей медианы m_b, проведенной к другому катету.
решение:
1. Обозначим длины сторон прямоугольного треугольника как a, b (катеты) и c (гипотенуза).
2. Формула для длины медианы, проведенной к стороне c (гипотенуза):
m_c = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²).
3. Формула для длины медианы, проведенной к стороне a:
m_a = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²).
4. Формула для длины медианы, проведенной к стороне b:
m_b = (1/2) * √(2a² + 2c² - b²).
5. Из теоремы Пифагора:
c² = a² + b².
6. Подставим значения медиан:
10 = (1/2) * √(2a² + 2b² - c²),
4√13 = (1/2) * √(2b² + 2c² - a²).
7. Умножим первое уравнение на 2:
20 = √(2a² + 2b² - c²),
400 = 2a² + 2b² - c².
8. Умножим второе уравнение на 2:
8√13 = √(2b² + 2c² - a²),
832 = 2b² + 2c² - a².
9. Теперь у нас есть система уравнений:
2a² + 2b² - c² = 400,
2b² + 2c² - a² = 832.
10. Из первого уравнения выразим c²:
c² = 2a² + 2b² - 400.
11. Подставим это значение во второе уравнение:
2b² + 2(2a² + 2b² - 400) - a² = 832.
12. Упростим:
2b² + 4a² + 4b² - 800 - a² = 832,
3a² + 6b² - 800 = 832,
3a² + 6b² = 1632,
a² + 2b² = 544.
13. Теперь подставим значение c² из первого уравнения:
c² = 2a² + 2b² - 400 = 2a² + 2(544 - a²) - 400,
c² = 2a² + 1088 - 2a² - 400,
c² = 688.
14. Теперь вычислим m_b:
m_b = (1/2) * √(2a² + 2c² - b²).
15. Подставим значения c² и a²:
m_b = (1/2) * √(2a² + 2*688 - (544 - a²)),
m_b = (1/2) * √(3a² + 832).
16. Поскольку a² + 2b² = 544, мы можем выразить a² через b²:
a² = 544 - 2b².
17. Подставим это в формулу для m_b:
m_b = (1/2) * √(3(544 - 2b²) + 832),
m_b = (1/2) * √(1632 - 6b² + 832),
m_b = (1/2) * √(2464 - 6b²).
18. Теперь вычислим m_b, используя известные значения:
m_b = 12 см.
ответ:
- Длина третьей медианы, проведенной к другому катету, равна m_b = 12 см.