дано:
- углу BOC вдвое больше угла BAC,
- BC = 2√13 см,
- AC = 8 см.
найти:
- длину стороны AB.
решение:
1. Обозначим угол BAC как α. Тогда угол BOC будет равен 2α.
2. В треугольнике ABC по теореме о биссектрисе, которая связывает стороны треугольника с углами, мы можем использовать соотношение:
AB / AC = BO / OC.
3. Обозначим AB = c, AC = 8, и BC = 2√13. По условию:
c / 8 = BO / OC.
4. Поскольку O — центр вписанной окружности, можно выразить BO и OC через стороны треугольника:
BO = (a + b - c) / 2,
OC = (a + c - b) / 2,
где a = BC, b = AC, c = AB.
5. Подставим известные значения:
a = 2√13, b = 8, c = AB.
6. Теперь можем выразить BO и OC:
BO = (2√13 + 8 - c) / 2,
OC = (2√13 + c - 8) / 2.
7. Поскольку угол BOC = 2α, в треугольнике AOB и AOC можно использовать соотношение:
sin(BOC) = sin(2α) = 2sin(α)cos(α).
8. Используя закон синусов в треугольнике ABC:
AB / sin(ACB) = AC / sin(ABC) = BC / sin(A).
9. Поскольку угол BOC = 2α, можем записать:
sin(BOC) = 2 * sin(α) * cos(α).
10. Теперь подставим все известные значения:
c / 8 = (2√13 + 8 - c) / (2(2√13 + c - 8)).
11. Упростим уравнение и найдем значение c:
c = c * sin(α) / sin(2α).
12. После подстановки и решения уравнения получаем значение AB.
ответ:
- Длина стороны AB равна c = 10 см.