Дано:
AB = BC = 6 см, точка Р делит сторону BC в отношении 2:1, то есть BP:PC = 2:1. На стороне AB построена окружность с центром в середине отрезка AB, которая пересекает сторону BC в точке P.
Найти: длину высоты, проведенной к основанию треугольника ABC.
Решение:
1. Сначала обозначим длину стороны AB как 6 см. Поскольку точка Р делит сторону BC в отношении 2:1, то пусть длина отрезка BP будет 4 см, а длина отрезка PC — 2 см.
2. Рассмотрим, что окружность на стороне AB — это окружность с центром в середине отрезка AB. Следовательно, радиус окружности равен половине длины AB, то есть радиус R = 3 см.
3. Теперь определим высоту треугольника. Из условия задачи, окружность пересекает сторону BC в точке P, и, поскольку точка P делит сторону BC в отношении 2:1, то длина отрезков BP и PC известна (BP = 4 см и PC = 2 см).
4. Важно заметить, что треугольник ABC равнобедренный (AB = BC = 6 см), и для нахождения высоты можно воспользоваться формулой площади треугольника через основание и высоту. Площадь треугольника можно также вычислить через длины сторон с использованием формулы Герона.
Для нахождения площади S треугольника ABC, сначала находим полупериметр:
p = (AB + BC + AC) / 2 = (6 + 6 + 6) / 2 = 9 см.
5. Теперь, используя формулу для площади по полупериметру, мы можем найти площадь треугольника. Площадь треугольника ABC равна:
S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)) = √(9 * (9 - 6) * (9 - 6) * (9 - 6)) = √(9 * 3 * 3 * 3) = √243 ≈ 15.588 см².
6. Площадь треугольника также можно выразить через основание и высоту:
S = (1/2) * AB * h, где h — высота треугольника, проведенная к основанию AB.
7. Подставляем известные значения:
15.588 = (1/2) * 6 * h, откуда h = 15.588 * 2 / 6 = 5.196 см.
Ответ: Высота треугольника ABC равна 5.2 см.