Дано:
Длины оснований трапеции: a = 2√3, b = 4√3.
Длины боковых сторон: c = 2√3.
Найти: расстояние от середины одной боковой стороны до прямой, на которой лежит другая боковая сторона.
Решение:
1. Расположим трапецию в координатной системе.
Пусть точки A и B — основания трапеции, где A(0, 0) и B(4√3, 0) (нижнее основание). Точки C и D будут находиться на верхнем основании.
2. Найдем координаты точек C и D.
Поскольку длина верхнего основания равна 2√3, оно будет расположено выше, и его середина будет находиться под точкой 4√3.
Пусть C и D имеют координаты C(x1, h) и D(x2, h), где x1 + x2 = 2√3 и h — высота трапеции.
3. Используем длины боковых сторон.
Длина боковой стороны AC равна 2√3:
AC = sqrt((x1 - 0)² + (h - 0)²) = 2√3.
Таким образом:
x1² + h² = (2√3)²,
x1² + h² = 12.
Аналогично для боковой стороны BD:
BD = sqrt((x2 - 4√3)² + (h - 0)²) = 2√3.
Таким образом:
(x2 - 4√3)² + h² = (2√3)²,
(x2 - 4√3)² + h² = 12.
4. Подставим x2.
Поскольку x2 = 2√3 - x1, подставим это значение в уравнение для BD:
((2√3 - x1) - 4√3)² + h² = 12,
(-2√3 - x1)² + h² = 12.
5. Решим систему уравнений.
Теперь у нас есть две системы:
1) x1² + h² = 12,
2) (-2√3 - x1)² + h² = 12.
Раскроем второе уравнение:
(4 + 4√3x1 + x1²) + h² = 12.
6. Вычтем первое уравнение из второго.
4 + 4√3x1 + x1² + h² - (x1² + h²) = 12,
4 + 4√3x1 = 12,
4√3x1 = 8,
x1 = 2/√3 = (2√3)/3.
7. Найдем h.
Подставим x1 обратно в первое уравнение:
(2√3/3)² + h² = 12,
(4/3) + h² = 12,
h² = 12 - 4/3,
h² = 36/3 - 4/3 = 32/3,
h = sqrt(32/3) = (4√2)/√3.
8. Теперь найдем расстояние от середины одной боковой стороны до прямой, на которой лежит другая боковая сторона.
Середина боковой стороны AC:
M = (x1/2, h/2) = ((2√3/3)/2, (4√2)/2√3) = (√3/3, 2√2/√3).
Теперь найдем расстояние от точки M до прямой, на которой лежит BD, используя формулу расстояния от точки до прямой. Поскольку нижняя сторона (AB) — это ось x, расстояние будет равно высоте h.
Расстояние = h = (4√2)/√3.
Ответ: расстояние от середины одной боковой стороны до прямой, на которой лежит другая боковая сторона, равно (4√2)/√3 см.