Дано:
- Точка О делит хорду окружности в отношении 1:4.
- Длина данной хорды 10 см.
Найти:
- Длину самой короткой хорды, проходящей через точку О.
Решение:
1. Пусть данная хорда, которая делится точкой О, имеет длину 10 см. Обозначим её как AB. Точка О делит хорду в отношении 1:4, это означает, что отрезок AO составляет 2 см (1/5 от длины хорды), а отрезок OB — 8 см (4/5 от длины хорды).
2. Поскольку хорда делится точкой О, то точка О лежит на прямой, проходящей через центр окружности, перпендикулярно хорде AB. Если мы проведем ещё одну хорду, перпендикулярную хорде AB и проходящую через точку О, то она будет самой короткой.
3. Длина самой короткой хорды в окружности, проходящей через точку, делящую хордовый отрезок, зависит от расстояния от центра окружности до этой точки. Мы можем использовать свойство, что длина хорды, перпендикулярной данной хорде, будет минимальной, и её длина можно выразить через длину исходной хорды.
4. Так как точка О делит хорду в отношении 1:4, её положение на хорде связано с расстоянием от центра окружности до точки О. Выводя формулы для длины самой короткой хорды, получается, что её длина будет равна:
Длина самой короткой хорды = √(Длина хорды AB² - (AO)²).
5. Подставляем значения:
Длина хорды AB = 10 см,
AO = 2 см.
Длина самой короткой хорды = √(10² - 2²) = √(100 - 4) = √96 ≈ 9.80 см.
Ответ:
Длина самой короткой хорды, проходящей через точку О, примерно 9.80 см.