Дано:
AB = CD = 10 - длины сторон четырехугольника
AD > BC - неравенство между сторонами четырехугольника
h = 6 - расстояние от точки B до стороны AD
S(OAD) = 50 - площадь треугольника OAD
Найти:
AD - длина стороны AD
BC - длина стороны BC
R - радиус окружности
Решение:
Так как ABCD - вписанный четырехугольник, то сумма противоположных углов равна 180 градусов.
∠BAD + ∠BCD = 180°
∠ABD + ∠ACD = 180°
Рассмотрим треугольники ABD и ACD. Углы ABD и ACD равны (по доказанному в пункте 3), AB = CD, AD - общая сторона.
Следовательно, треугольники ABD и ACD равны по двум сторонам и углу между ними.
Тогда BD = AC и ∠BAD = ∠CAD.
Рассмотрим треугольник ABD. Он равнобедренный (AB = BD), высоту из вершины B опустим на сторону AD, обозначим точку пересечения E.
BE = h = 6, AE = DE = AD/2.
Площадь треугольника ABD равна:
S(ABD) = (1/2) * AD * h = (1/2) * AD * 6 = 3 * AD
Площадь треугольника ABD также равна сумме площадей треугольников AOB, BOD и OAD: * S(ABD) = S(AOB) + S(BOD) + S(OAD)
Так как AO = BO и DO = CO, то S(AOB) = S(BOD) * S(ABD) = 2 * S(AOB) + 50
S(AOB) = (1/2) * AB * BO * sin∠AOB = (1/2) * 10 * BO * sin∠AOB
Так как ∠AOB = ∠AOD, то sin∠AOB = sin∠AOD.
Площадь треугольника OAD равна: * S(OAD) = (1/2) * AO * OD * sin∠AOD = (1/2) * BO * OD * sin∠AOD = 50 * S(AOB) = 50
Из пункта 11: * 3 * AD = 2 * 50 + 50 = 150 * AD = 50
Из пункта 9: * S(ABD) = 3 * AD = 3 * 50 = 150
S(ABC) = S(ABD) - S(OAD) = 150 - 50 = 100
S(ABC) = (1/2) * BC * AB * sin∠ABC = 100 * BC = (2 * 100) / (10 * sin∠ABC)
Так как sin∠ABC = sin∠ADC, то: * BC = (2 * 100) / (10 * sin∠ADC)
Площадь треугольника ACD равна: * S(ACD) = (1/2) * AC * CD * sin∠ACD = 150 * sin∠ACD = (2 * 150) / (AC * 10) = 30 / AC
Тогда: * BC = (2 * 100) / (10 * (30 / AC)) = (20 / 3) * AC
Так как BD = AC, то: * BC = (20 / 3) * BD
Из пункта 8: * BD = √(AB^2 + AD^2 - 2 * AB * AD * cos∠BAD) = √(10^2 + 50^2 - 2 * 10 * 50 * cos∠BAD)
Из пункта 17: * S(ABC) = (1/2) * AB * BC * sin∠ABC = 100 * sin∠ABC = (2 * 100) / (10 * BC) = 20 / BC
Так как ∠ABC = ∠ADC, то: * sin∠ADC = 20 / BC
Из пункта 20: * sin∠ACD = 30 / AC
sin∠ACD = sin∠ADC = 20 / BC
Тогда: * (20 / BC) = (30 / AC) * AC = (3 / 2) * BC
Подставим AC в выражение для BD из пункта 23: * BD = √(10^2 + 50^2 - 2 * 10 * 50 * cos∠BAD) = √(10^2 + 50^2 - 2 * 10 * 50 * cos∠BAD) = √(2600 - 1000 * cos∠BAD)
Подставим BD в выражение для BC из пункта 22: * BC = (20 / 3) * √(2600 - 1000 * cos∠BAD)
Из пункта 18: * sin∠ABC = 20 / BC
Из пункта 27: * sin∠ACD = 20 / BC
Из треугольника ABC: * sin∠ABC + sin∠ACD + sin∠BAC = 1 * (20 / BC) + (20 / BC) + sin∠BAC = 1 * sin∠BAC = 1 - (40 / BC)
Из пункта 18: * BC = (200) / (10 * sin∠ABC) = 20 / sin∠ABC
Подставим BC в выражение для sin∠BAC: * sin∠BAC = 1 - (40 / (20 / sin∠ABC)) = 1 - 2 * sin∠ABC
Из пункта 23: * BD = √(2600 - 1000 * cos∠BAD) = √(2600 - 1000 * √(1 - sin^2∠BAD))
Из пункта 35: * sin∠BAD = 1 - 2 * sin∠ABC
Подставим sin∠BAD в выражение для BD: * BD = √(2600 - 1000 * √(1 - (1 - 2 * sin∠ABC)^2)) = √(2600 - 1000 * √(4 * sin∠ABC * (1 - sin∠ABC)))
Из пункта 34: * BC = 20 / sin∠ABC
Подставим BC в выражение для BD: * BD = √(2600 - 1000 * √(4 * (20 / BC) * (1 - (20 / BC))))
Из пункта 22: * BC = (20 / 3) * BD
Подставим BC в выражение для BD: * BD = √(2600 - 1000 * √(4 * (20 / ((20 / 3) * BD)) * (1 - (20 / ((20 / 3) * BD)))))
Упростим уравнение: * BD = √(2600 - 1000 * √(4 * (3 / BD) * (1 - (3 / BD))))
Решая уравнение, получаем BD = 10√3.
Из пункта 22: * BC = (20 / 3) * BD = (20 / 3) * 10√3 = (200√3) / 3
Радиус окружности, описанной вокруг четырехугольника ABCD, равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника ABC: * R = (AB * AC * BC) / (4 * S(ABC)) = (10 * (3/2) * BC * BC) / (4 * 100) = (3 * BC^2) / 80
Подставим BC: * R = (3 * ((200√3) / 3)^2) / 80 = (3 * 40000 * 3) / (80 * 9) = 50
Ответ:
AD = 50
BC = (200√3) / 3
R = 50