Question

В сектор окружности с углом 60° вписан круг, касающийся радиусов и дуги, ограничивающей сектор. Во сколько раз площадь сектора больше площади этого круга?

Answer 1

Дано:
- Угол сектора α = 60°.
- Радиус сектора R.

Найти:
- Во сколько раз площадь сектора больше площади вписанного круга.

Решение:

1. Площадь сектора можно вычислить по формуле:
S_сектор = (α / 360°) * πR².

Подставим значение угла:
S_сектор = (60 / 360) * πR² = (1/6) * πR².

2. Теперь найдем радиус вписанного круга. Для сектора с углом α и радиусом R радиус вписанного круга r можно вычислить по формуле:
r = R * sin(α / 2).

Подставим значение угла:
r = R * sin(30°) = R * 1/2 = R / 2.

3. Теперь найдем площадь вписанного круга:
S_круг = πr² = π(R/2)² = π(R² / 4) = (πR²) / 4.

4. Теперь найдем отношение площади сектора к площади круга:
Отношение = S_сектор / S_круг = [(1/6) * πR²] / [(πR²) / 4].

5. Упрощаем это выражение:
Отношение = (1/6) / (1/4) = (1/6) * (4/1) = 4 / 6 = 2 / 3.

Ответ:
Площадь сектора в 2/3 раза больше площади вписанного круга.