Дано:
Точка A (2; 3; 1) и точка B (4; 1; -5).
Точка P принадлежит оси ординат, следовательно, ее координаты имеют вид P(0; y; 0).
Найти:
Координаты точки P, равноудаленной от точек A и B.
Решение:
Расстояние между двумя точками в трехмерном пространстве вычисляется по формуле:
d = sqrt((Bx - Ax)^2 + (By - Ay)^2 + (Bz - Az)^2)
Для точки P расстояния от P до A и от P до B равны:
d(P, A) = sqrt((0 - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2)
d(P, B) = sqrt((0 - 4)^2 + (y - 1)^2 + (0 - (-5))^2)
Установим равенство:
sqrt((0 - 2)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 1)^2) = sqrt((0 - 4)^2 + (y - 1)^2 + (0 - (-5))^2)
Теперь упростим выражения:
sqrt(4 + (y - 3)^2 + 1) = sqrt(16 + (y - 1)^2 + 25)
Это дает:
sqrt(5 + (y - 3)^2) = sqrt(41 + (y - 1)^2)
Возведем обе стороны в квадрат:
5 + (y - 3)^2 = 41 + (y - 1)^2
Раскроем скобки:
5 + (y^2 - 6y + 9) = 41 + (y^2 - 2y + 1)
Соберем все термины на одной стороне:
5 + y^2 - 6y + 9 - 41 - y^2 + 2y - 1 = 0
Упростим:
-6y + 2y + 5 + 9 - 41 - 1 = 0
-4y - 28 = 0
-4y = 28
y = -7
Таким образом, координаты точки P равны (0; -7; 0).
Ответ:
Координаты точки P: (0; -7; 0).