Дано:
Точки:
A (4; 2; 10)
B (10; -2; 8)
C (4; -4; 4)
D (-2; 0; 6)
Найти:
Докажите, что четырехугольник ABCD является ромбом.
Решение:
Для того чтобы показать, что четырехугольник является ромбом, необходимо доказать, что все его стороны равны.
1. Найдем векторы AB, BC, CD и DA:
AB = B - A = (10; -2; 8) - (4; 2; 10) = (6; -4; -2)
BC = C - B = (4; -4; 4) - (10; -2; 8) = (-6; -2; -4)
CD = D - C = (-2; 0; 6) - (4; -4; 4) = (-6; 4; 2)
DA = A - D = (4; 2; 10) - (-2; 0; 6) = (6; 2; 4)
Теперь у нас есть векторы:
AB = (6; -4; -2)
BC = (-6; -2; -4)
CD = (-6; 4; 2)
DA = (6; 2; 4)
2. Найдем длины сторон четырехугольника:
Длина AB:
|AB| = sqrt(6^2 + (-4)^2 + (-2)^2) = sqrt(36 + 16 + 4) = sqrt(56)
Длина BC:
|BC| = sqrt((-6)^2 + (-2)^2 + (-4)^2) = sqrt(36 + 4 + 16) = sqrt(56)
Длина CD:
|CD| = sqrt((-6)^2 + 4^2 + 2^2) = sqrt(36 + 16 + 4) = sqrt(56)
Длина DA:
|DA| = sqrt(6^2 + 2^2 + 4^2) = sqrt(36 + 4 + 16) = sqrt(56)
3. Поскольку все стороны равны, имеем:
|AB| = |BC| = |CD| = |DA| = sqrt(56)
Таким образом, все четыре стороны равны, что подтверждает, что четырехугольник ABCD является ромбом.
Ответ:
Четырехугольник ABCD является ромбом.